【題目】已知函數(shù)，且.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)有且只有一個零點.

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）通過導函數(shù)當和時的正負來確定原函數(shù)的增減區(qū)間；

(2) 通過證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個根，從而證明函數(shù)有且只有一個零點.

試題解析：

（1），，

當時，，則在上單調(diào)遞增；

當時，由得，由得，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：由已知得，則，

設，則 ，

故為上的增函數(shù)，

又由于，因此且有唯一零點1，

當時，；當時，.

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

函數(shù)有且只有一個零點.

點晴:本題主要考查導數(shù)在解決函數(shù)中的應用. 解答此類問題，應該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯. 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉(zhuǎn)化：(1)利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為含參不等式的求解問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用．(2)函數(shù)有且只有一個零點通常是證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個根，從而證明函數(shù)有且只有一個零點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期為.

(1)求ω的值；

(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域．

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【題目】已知函數(shù)

（1）若為曲線的一條切線，求a的值；

（2）已知，若存在唯一的整數(shù)，使得，求a的取值范圍.

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A. 在一次試卷分析中，從每個考室中抽取第5號考生的成績進行統(tǒng)計，不是簡單隨機抽樣

B. 對一個樣本容量為100的數(shù)據(jù)分組，各組的頻數(shù)如下：

區(qū)間

頻數(shù)

1

1

3

3

18

16

28

30

估計小于29的數(shù)據(jù)大約占總體的

C. 設產(chǎn)品產(chǎn)量與產(chǎn)品質(zhì)量之間的線性相關(guān)系數(shù)為，這說明二者存在著高度相關(guān)

D. 通過隨機詢問110名性別不同的行人，對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進行抽樣調(diào)查，得到如表列聯(lián)表.

由，則有以上的把握認為“選擇過馬路方式與性別有關(guān)”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為： ，已知甲、乙兩地相距100千米．

（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】調(diào)查在級風的海上航行中71名乘客的暈船情況，在男人中有12人暈船，25人不暈船，在女人中有10人暈船，24人不暈船

（1）作出性別與暈船關(guān)系的列聯(lián)表；

（2）根據(jù)此資料，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為級風的海上航行中暈船與性別有關(guān)？

暈船

不暈船

總計

男人

女人

總計

附：.

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：

（1）兩種大樹各成活1株的概率；

（2）成活的株數(shù)ξ的分布列與期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 為其導函數(shù).

(1) 設，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2) 若, 設， 為函數(shù)圖象上不同的兩點，且滿足，設線段中點的橫坐標為 證明： .

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【題目】(數(shù)學文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為 ，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______．

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