Question

18．已知集合A={x|${C}_{x}^{4}$＞${C}_{x}^{6}$}，B={x|${C}_{10}^{x}$=${C}_{10}^{3x-2}$}，C={x|${A}_{9}^{x}$＞${C}_{4}^{2}$${A}_{9}^{x-2}$}，全集U=A∪B∪C，現(xiàn)從U中每次取出2奇2偶四個(gè)數(shù)．（提示：規(guī)定${A}_{n}^{0}$=1，${C}_{n}^{0}$=1．n∈N^*，本題在此規(guī)定下考慮定義域！）
（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)；
（2）能組成多少個(gè)被5除余2的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

Answer 1

分析 先根據(jù)排列和組合數(shù)公式，求出集合A，B，C，得到全集U，先確定個(gè)位數(shù)字，再確定其它數(shù)位的數(shù)字，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵A={x|${C}_{x}^{4}$＞${C}_{x}^{6}$}，
∴$\frac{x！}{（x-4）！•4！}$＞$\frac{x！}{（x-6）！•6！}$，且x≥6
∴A={x|6≤x＜10}，
∵B={x|${C}_{10}^{x}$=${C}_{10}^{3x-2}$}
∴x+3x-2=10，
即x=3，
∴B={x|x=3}，
∵C={x|${A}_{9}^{x}$＞${C}_{4}^{2}$${A}_{9}^{x-2}$}，
∴$\frac{9！}{（9-x）！}＞6\frac{9！}{（9-x+2）！}$，且x≤9且，x-2≥0，
∴C={x|8＜x≤9}，
∵全集U=A∪B∪C，
∴U={3，6，7，8，9}，
（1）從U中每次取出2奇2偶四個(gè)數(shù)，有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}$=3種，先排個(gè)位數(shù)字，有${A}_{2}^{1}$，其他任意排，故有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}$•${A}_{2}^{1}$$•{A}_{3}^{3}$=36種；
（2）被5除余2的個(gè)位數(shù)字為7，其它三位任意排列，故有${A}_{4}^{3}$=24種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了排列數(shù)和組合數(shù)公式，以及分步計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．