Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≤K\\ K，f（x）＞K\end{array}$．若對于函數(shù)f（x）=$\frac{1nx+1}{e^x}$恒有f_k（x）=f（x），則（　�。�

• A． K的最大值為$\frac{1}{e}$
• B． K的最小值為$\frac{1}{e}$
• C． K的最大值為2
• D． K的最小值為2

Answer 1

分析 由已知條件可得k≥f（x）_max，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．，

解答 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-{e}^{x}（1+lnx）}{{e}^{2x}}$=$\frac{\frac{1}{x}-（1+lnx）}{{e}^{x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{x}-（1+lnx）$，
則g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即$\frac{1}{x}-（1+lnx）$=0，
解出x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=1時，f（x）取到極大值同時也是最大值f（1）=$\frac{1}{e}$．
故當(dāng)k≥$\frac{1}{e}$時，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最小值為$\frac{1}{e}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)新定義的應(yīng)用，根據(jù)定義f_k（x）=f（x）等價為求函數(shù)f（x）的最大值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．