Question

8．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$的正三角形，P是以C為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，13]
• B． （1，13）
• C． （4，10）
• D． [4，10]

Answer 1

分析 以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，CA為x軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系，求得A，B，C的坐標(biāo)和圓C的方程，可設(shè)P（-$\sqrt{3}$+cosα，sinα），α∈[0，2π），運(yùn)用向量的加減坐標(biāo)運(yùn)算，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，CA為x軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（-$\sqrt{3}$，0），
圓C的方程為（x+$\sqrt{3}$）²+y²=1，
可設(shè)P（-$\sqrt{3}$+cosα，sinα），α∈[0，2π），
∴$\overrightarrow{AP}$=（（-2$\sqrt{3}$+cosα，sinα），
$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{3}$+cosα，sinα-3），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=（cosα-$\sqrt{3}$）（cosα-2$\sqrt{3}$）+sinα（sinα-3）
=7-3$\sqrt{3}$cosα-3sinα=7-6（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）
=7-6cos（α+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)α+$\frac{π}{6}$=0即α=-$\frac{π}{6}$時(shí)，cos（α+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
即有7-6cos（α+$\frac{π}{6}$）取得最小值1；
當(dāng)α+$\frac{π}{6}$=π即α=$\frac{5π}{6}$時(shí)，cos（α+$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，
即有7-6cos（α+$\frac{π}{6}$）取得最大值13．
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$的取值范圍是[1，13]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的取值范圍，運(yùn)用坐標(biāo)法是解題的關(guān)鍵，正確設(shè)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查余弦函數(shù)的值域，屬中檔題．