【題目】已知數(shù)列的滿足,前項的和為,且.
(1)求的值;
(2)設,證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)設,若,求對所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.
【答案】(1);(2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)令得 (2) 因為,所以①.所以②,由②-①,得.因為,所以.所以,即,
即即可得證(3)由(2)知,因為,所以數(shù)列的通項公式為.因為,所以,所以,所以數(shù)列是常數(shù)列. 由,所以.所以.研究數(shù)列的單調(diào)性求出最小值,變量分離即可得解.
試題解析:
(1)令得.
(2)因為,所以①.
所以②,
由②-①,得.
因為,所以.
所以,即,
即,所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.
(3)由(2)知,因為,所以數(shù)列的通項公式為.
因為,所以,
所以,所以數(shù)列是常數(shù)列.
由,所以.
所以.
因為
所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列
當時, ,即的最小值為
由,所以,
而當時, 在遞減, 遞增,所以,
當且僅當或時取得,故.
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【題目】[選修4-4,坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為 ,以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為。
(1)求直線的直角坐標方程和曲線C的普通方程。
(2)設點P為曲線C上的任意一點,求點P到直線的距離的最大值。
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若直線l的極坐標方程為,曲線C的極坐標方程為: ,將曲線C上所有點的橫坐標縮短為原來的一半,縱坐標不變,然后再向右平移一個單位得到曲線C1.
(1)求曲線C1的直角坐標方程;
(2)已知直線l與曲線C1交于A,B兩點,點P(2,0),求|PA|+|PB|的值.
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【題目】某縣政府為了引導居民合理用水,決定全面實施階梯水價,階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準定價:若用水量不超過12噸時,按4元/噸計算水費;若用水量超過12噸且不超過14噸時,超過12噸部分按6.60元/噸計算水費;若用水量超過14噸時,超過14噸部分按7.80元/噸計算水費.為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,,…,分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(圖1) (圖2)
(Ⅰ)通過頻率分布直方圖,估計該市居民每月的用水量的平均數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01);
(Ⅱ)求用戶用水費用(元)關于月用水量(噸)的函數(shù)關系式;
(Ⅲ)如圖2是該縣居民李某2017年1~6月份的月用水費(元)與月份的散點圖,其擬合的線性回歸方程是.若李某2017年1~7月份水費總支出為294.6元,試估計李某7月份的用水噸數(shù).
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【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過原點,對,恒有成立,設數(shù)列滿足.
(I)求證:對,恒有成立;
(II)求函數(shù)的表達式;
(III)設數(shù)列前項和為,求的值.
【答案】(I)證明見解析;(II);(III)2018.
【解析】試題分析:
(1)左右兩側做差,結合代數(shù)式的性質(zhì)可證得,即對,恒有:成立;
(2)由已知條件可設,給定特殊值,令,從而可得:,則,,從而有恒成立,據(jù)此可知,則.
(3)結合(1)(2)的結論整理計算可得:,據(jù)此分組求和有:.
試題解析:
(1)(僅當時,取“=”)
所以恒有:成立;
(2)由已知條件可設,則中,令,
從而可得:,所以,即,
又因為恒成立,即恒成立,
當時,,不合題意舍去,
當時,即,所以,所以.
(3),
所以,
即.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】已知函數(shù) 為定義在上的奇函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】如圖,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,M,N分別是棱CC1,AB的中點.
(1)求證:CN⊥平面ABB1A1;
(2)求證:CN∥平面AMB1.
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【題目】已知數(shù)列中, ,且對任意正整數(shù)都成立,數(shù)列的前項和為.
(1)若,且,求;
(2)是否存在實數(shù),使數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項按某順序排列后成等差數(shù)列,若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由;
(3)若,求.(用表示).
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【題目】已知(m,n為常數(shù)),在處的切線方程為.
(Ⅰ)求的解析式并寫出定義域;
(Ⅱ)若任意,使得對任意上恒有成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若有兩個不同的零點,求證: .
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【題目】設函數(shù), 為曲線在點處的切線.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)當時,證明:除切點之外,曲線在直線的下方.
(Ⅲ)設, , ,且滿足,求的最大值.
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