Question

【題目】某縣政府為了引導(dǎo)居民合理用水，決定全面實(shí)施階梯水價(jià)，階梯水價(jià)原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)定價(jià)：若用水量不超過12噸時(shí)，按4元/噸計(jì)算水費(fèi)；若用水量超過12噸且不超過14噸時(shí)，超過12噸部分按6.60元/噸計(jì)算水費(fèi)；若用水量超過14噸時(shí)，超過14噸部分按7.80元/噸計(jì)算水費(fèi)．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．

（圖1） （圖2）

（Ⅰ）通過頻率分布直方圖，估計(jì)該市居民每月的用水量的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；

（Ⅱ）求用戶用水費(fèi)用（元）關(guān)于月用水量（噸）的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅲ）如圖2是該縣居民李某2017年1～6月份的月用水費(fèi)（元）與月份的散點(diǎn)圖，其擬合的線性回歸方程是．若李某2017年1～7月份水費(fèi)總支出為294.6元，試估計(jì)李某7月份的用水噸數(shù)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)平均數(shù)為7.96，中位數(shù)為8.15；(Ⅱ)；(Ⅲ)13噸.

【解析】試題分析：

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用及線性回歸方程的應(yīng)用。（Ⅰ）根據(jù)用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)的方法計(jì)算即可。（Ⅱ）結(jié)合題意可用分段函數(shù)表示出與的關(guān)系。（Ⅲ）先由樣本中點(diǎn)過回歸直線的結(jié)論求得1～6月份月用水費(fèi)約為 7月份的水費(fèi)為元，再根據(jù)回歸方程求得7月份的用水噸數(shù)。

試題解析：

（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得該市居民每月的用水量的平均數(shù)為

。

設(shè)中位數(shù)為，

則，

解得。

（Ⅱ）設(shè)居民月用水量為噸，相應(yīng)的水費(fèi)為元，則由題意得

即

（Ⅲ）設(shè)李某2017年1～6月份月用水費(fèi)（元）與月份的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，它們的平均值分別為，，

則，

又點(diǎn)在直線上，

所以，

因此，

所以7月份的水費(fèi)為元．

由（2）知，當(dāng)時(shí)，，

所以李某7月份的用水噸數(shù)約為13噸.