Question

5．函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx+1的最小正周期為π，當x∈[m，n]時，f（x）至少有12個零點，則n-m的最小值為（　�。�

• A． 12π
• B． $\frac{7π}{3}$
• C． 6π
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 由兩角和的正弦函數(shù)化簡f（x），由周期公式求出ω的值，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的根，由條件和正弦函數(shù)的周期性求出n-m的最小值．

解答 解：由題意得，f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx+1
=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）+1$，
因為函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
所以$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
則$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，
由$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）+1=0$得，$sin（2x+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，
則$2x+\frac{π}{3}=2kπ-\frac{π}{6}$或$2x+\frac{π}{3}=2kπ-\frac{5π}{6}$（k∈Z），
解得x=kπ-$\frac{π}{4}$，或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，
所以一個周期內(nèi)相鄰的零點之間的間隔為$\frac{π}{3}$，
因為當x∈[m，n]時，f（x）至少有12個零點，
所以n-m的最小值為$5π+\frac{π}{3}$=$\frac{16π}{3}$，
故選D．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，兩角和的正弦函數(shù)，以及周期公式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．