Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+a|-2a，其中a∈R．
（1）當a=-2時，求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-2時，分類討論，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|-|x+1|≤2a恒成立，求出左邊的最大值，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=-2時，不等式f（x）≤2x+1為|x-2|-2x+3≤0．
x≥2時，不等式化為x-2-2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；
x＜2時，不等式化為-x+2-2x+3≤0，即x≥$\frac{5}{3}$，∴$\frac{5}{3}$≤x≤2，
綜上所述，不等式的解集為{x|x≥$\frac{5}{3}$}；
（2）x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|-|x+1|≤2a恒成立，
∵|a+a|-|x+1|≤|a-1|，
∴|a-1|≤2a，∴$a≥\frac{1}{3}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．