Question

10．已知函數(shù)f（x）=x（m+e^-x）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數(shù)m的取值范圍是（0，e^-2）．

Answer 1

分析 由曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，等價于函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點，等價于方程f'（x）=0有兩個不同的實根，等價于直線y=m與曲線y=g（x）有兩個不同的交點，即可解出a的取值范圍．

解答 解：曲線存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，等價于  
函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點，等價于方程f'（x）=0有兩個不同的實根．
令f'（x）=m+e^-x-xe^-x=0，得：$m=\frac{x-1}{e^x}$
令$g（x）=\frac{x-1}{e^x}$，則條件等價于直線y=m與曲線y=g（x）有兩個不同的交點.$g'（x）=\frac{{{e^x}-（{x-1}）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{2-x}{e^x}$
當(dāng)x=2時，g'（x）=0；當(dāng)x＞2時，g'（x）＜0；當(dāng)x＜2時，g'（x）＞0；
從而當(dāng)x=2時有最大值g（2）=e^-2，g（x）在（-∞，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減．
當(dāng)x→-∞時，g（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，g（x）→0；如右圖所示，從而m∈（0，e^-2）

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)零點等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．