Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x³，若0≤θ≤$\frac{π}{2}$時，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1）．

Answer 1

分析 由于f（x）=x³，0≤θ≤$\frac{π}{2}$，利用導(dǎo)數(shù)，可判斷f（x）為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，可得f（mcosθ）＞f（m-1），從而得出mcosθ＞m-1，根據(jù)cosθ∈[0，1]，即可求解．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x³，可知f（x）為奇函數(shù)，f′（x）=3x²≥0恒成立，
∴f（x）=x³是增函數(shù)；且f（-x）=-f（x）即f（x）是奇函數(shù)，
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，則g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤$\frac{π}{2}$
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞m-1}\\{0＞m-1}\end{array}\right.$，
∴m＜1，
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立的問題，解題的關(guān)鍵在于對函數(shù)f（x）=x³單調(diào)性、奇偶性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于中檔試題．