Question

19．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到四棱錐A′-BCDE，已知A′H⊥CD，垂足為H．
（Ⅰ）求證：平面A′HB⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求三棱錐B-A′DE的最大體積．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥CD，DE⊥A′D可知DE⊥平面A′CD，故而A′H⊥DE，又A′H⊥CD，故A′H⊥平面BCDE，于是平面A′HB⊥平面BCDE；
（2）當(dāng)A′D⊥平面BCDE時，棱錐A′-BDE的高取得最大值a，且底面BDE不變，從而求出棱錐的最大體積．

解答 證明：（1∵D，E是AC，AB的中點，∠ACB=90°，
∴DE⊥CD，DE⊥A′D，又CD?平面A′CD，A′D?平面A′CD，CD∩A′D=D，
∴DE⊥平面A′CD．∵A′H?平面A′CD，
∴A′H⊥DE，又A′H⊥CD，CD∩DE=D，CD?平面BCDE，DE?平面BCDE，
∴A′H⊥平面BCDE，∵A′H?平面A′HB，
∴平面A′HB⊥平面BCDE．
（2）∵AC=BC=2a，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，
∴A′D=DE=a，S_△BDE=$\frac{1}{2}×a×a$=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
當(dāng)A′D⊥平面BCDE時，四棱錐A′-BCDE的高取得最大值A(chǔ)′D=a，
∴三棱錐B-A′DE的最大體積V_B-A′DE=V_A′-BDE=$\frac{1}{3}$S_△BDE•A′D=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．