Question

12．如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過(guò)點(diǎn)A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐高為$\sqrt{3}$．

（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）若平行于平面M的一個(gè)平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為$\frac{{\sqrt{3}}}{π}$，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大�。�
（3）求異面直線AB與SD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）先由已知求出SO=$\sqrt{3}$，SD=2，由此能求出圓錐的側(cè)面積．
（2）設(shè)AB=a，由平面M∥平面N，得a=2，再由三棱錐高為$\sqrt{3}$，能求出側(cè)棱PA與底面所成角的大�。�
（3）過(guò)D作AB的平行線DF，交圓O于F，連結(jié)SF，則∠SDF為異面直線AB與SD所成角，由此能求出異面直線AB與SD所成角的大小．

解答 解：（1）∵等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過(guò)點(diǎn)A，

又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐高為$\sqrt{3}$，
∴SO=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{3+1}$=2，
∴圓錐的側(cè)面積S=$\frac{1}{2}×2π×2$=2π．
（2）由題意知，$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{⊙O}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}{S_{⊙O}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}•π=\sqrt{3}$，
則正三棱錐的底面△ABC的邊長(zhǎng)為2，$AE=\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)Q是正△ABC的中心，則Q在AE上，PQ⊥平面ABC，
∠PAQ三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角，
Rt△PQA中，$PQ=h=\sqrt{3}$，$AQ=\frac{2}{3}AE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$tan∠PAQ=\frac{PQ}{AQ}=\frac{3}{2}$，
∴三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大小為$arctan\frac{3}{2}$．
（3）作DF∥AB交圓O于F，
連結(jié)AF、SF，則∠SDF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與SD所成角，
Rt△ADF中，AD=2，∠ADF=∠EAB=30°，∴$DF=\sqrt{3}$，
等腰△SDF中，$cos∠SDF=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴異面直線AB與SD所成角大小為$arccos\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐的側(cè)面積的求法，考查側(cè)棱與底面所成角的大小的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．