Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，且x∈[-

π

6

，

π

3

]
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|，求f(x)的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題

分析：（1）利用數(shù)量積公式及差角的余弦公式可求

a

•

b

，將模先平方再開方，可得結(jié)論；
（2）利用換元法，再利用配方法，即可求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

+sin

3

2

xsin

x

2

=cosx
|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=2+2cosx，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴|

a

+

b

|=2cos

x

2

；
（2）f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cosx-2cos

x

2

=2cos²

x

2

-2cos

x

2

-1
令t=cos，則f（t）=2t²-2t-1=2（t-

1

2

）²-

3

2

∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴

x

2

∈[-

π

12

，

π

6

]
∴

6 + 2

4

≤t≤

3

2

，
∴函數(shù)在（

1

2

，+∞）上單調(diào)增
∴f（t）∈[

3 - 2 - 6

2

，

1

2

-

3

]

點評：本題考查數(shù)量積公式，考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是正確化簡三角函數(shù)．