Question

已知橢圓M（焦點在x軸上）的離心率為

2 2

3

，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為6+4

2

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓M交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓M上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為6+4

2

，及橢圓的離心率為

2 2

3

，可求a，c的值，從而可得橢圓M的方程；
（Ⅱ）方法一：不妨設(shè)BC、AC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x2=

27n2-3

9n2+1

，x1=

27-3n2

9+n2

從而可三角形的面積，換元，利用基本不等式，可求ABC面積的最大值；
方法二：不妨設(shè)AB的方程為x=ky+m，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)以AB為直徑的圓過點C，可得

CA

•

CB

=0，從而可求m的值，進而可表示三角形的面積，換元，即可求得ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為橢圓M上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為6+4

2

，
所以2a+2c=6+4

2

，…（1分）
又橢圓的離心率為

2 2

3

，即

c

a

=

2 2

3

，所以c=

2 2

3

a，…（2分）
所以a=3，c=2

2

，所以b=1，
所以橢圓M的方程為

x2

9

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）方法一：不妨設(shè)BC的方程為y=n（x-3）（n＞0），則AC的方程為y=-

1

n

(x-3)．
由

y=n(x-3) x2 9 +y2=1

得(

1

9

+n2)x2-6n2x+9n2-1=0．…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為3x2=

81n2-9

9n2+1

，所以x2=

27n2-3

9n2+1

，…（7分）
同理可得x1=

27-3n2

9+n2

，…（8分）
所以|BC|=

1+n2

•

6

9n2+1

•|AC|=

1+n2

n

•

6n2

9+n2

，…（9分）
S△ABC=

1

2

|BC||AC|=

2(n+ 1 n )

(n+ 1 n )2+ 64 9

．…（10分）
設(shè)t=n+

1

n

≥2，則S=

2t

t2+ 64 9

=

2

t + 64 9t

≤

3

8

，…（12分）
當且僅當t=

8

3

時取等號，所以△ABC面積的最大值為

3

8

． …（13分）
方法二：不妨設(shè)AB的方程為x=ky+m．
由

x=ky+m x2 9 +y2=1

消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有y1+y2=-

2km

k2+9

•y1y2=

m2-9

k2+9

．①…（7分）
因為以AB為直徑的圓過點C，所以

CA

•

CB

=0
由

CA

=(x1-3，y1)， 

CB

=(x2-3，y2)，得（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0．
將①代入上式，解得m=

12

5

或m=3（舍）．…（10分）
所以m=

12

5

（此時直線AB經(jīng)過定點D（

12

5

，0），與橢圓有兩個交點）．
所以S△ABC=

1

2

|DC||y1-y2|=

1

2

×

3

5

(y1+y2)2-4y1y2

=

9

5

25(k2+9)-144 25(k2+9)2

．…（12分）
設(shè)t=

1

k2+9

，0＜t≤

1

9

，則S_△ABC=

9

5

-144 25 •t2+t

．
所以當t=

25

288

∈(0，

1

9

]時，S_△ABC取得最大值

3

8

．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查直線與橢圓方程的聯(lián)立，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．