Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=16，點(diǎn)P（1，2），M，N為圓O上不同的兩點(diǎn)，且滿足

PM

•

PN

=0．若

PQ

=

PM

+

PN

，則|

PQ

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，由于

PM

•

PN

=0，可得

PM

⊥

PN

．由于

PQ

=

PM

+

PN

，利用向量的平行四邊形法則和矩形的定義可得|

PQ

|=|

MN

|．當(dāng)四邊形PMQN為正方形且MN⊥OP時，|MN|取得最小值．

解答： 解：如圖所示，∵

PM

•

PN

=0，∴

PM

⊥

PN

．
∵

PQ

=

PM

+

PN

，則|

PQ

|=|

MN

|．
當(dāng)四邊形PMQN為正方形且MN⊥OP時，|MN|取得最小值．
設(shè)k_PM=k，∵∠QPM=45°，∴

2-k

1+2k

=1，解得k=

1

3

．
∴直線PM的方程為：y-2=

1

3

(x-1)，
化為x-3y+5=0，
∴

x-3y+5=0 x2+y2=16

，化為10y²-30y+9=0，
解得y=

15+3 15

10

(y=

15-3 15

10

舍去)．
∴x=3y-5=

9 15 -5

10

．
∴M(

9 5 -5

10

，

15+3 15

10

)．
∴|

PQ

|=|

MN

|=

2

|

PM

|=

2

( 9 5 -5 10 -1)2+( 15-3 15 10 -2)2

=

32-6 15

=3

3

-

5

．
故答案為：3

3

-

5

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的平行四邊形法則和矩形的定義、滿足一定條件取得最小值的轉(zhuǎn)化問題，考查了計算能力，屬于難題．