Question

13．已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
（Ⅰ）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）設(shè)θ為直線C₁N與平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（Ⅲ）設(shè)M為AB中點，在BC邊上找一點P，使MP∥平面CNB₁并求$\frac{BP}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BN⊥平面C₁B₁N．
（Ⅱ）求出平面NCB₁的一個法向量，利用向量法能求出sinθ．
（Ⅲ）設(shè)P（0，0，a）為BC上一點，利用向是琺能求出當PB=$\frac{1}{2}$時，MP∥平面CNB₁及此時$\frac{BP}{PC}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．…（2分）
以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則N（2，2，0），B₁（0，4，0），C₁（0，4，2），C（0，0，2），
∵$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}N}$=4-4+0=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}{N}_{1}}$=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁，
∵B₁C₁相交于B₁，∴BN⊥平面C₁B₁N．（4分）
解：（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z）為平面NCB₁的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CN}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{N{B}_{1}}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，1，2），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（2，-2，-2），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}N}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}N}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{|2-2-4|}{\sqrt{6}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（Ⅲ）∵M（1，0，0）．設(shè)P（0，0，a）為BC上一點，
則$\overrightarrow{MP}$=（-1，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{{n}_{2}}$，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=-1+2a=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當PB=$\frac{1}{2}$時，MP∥平面CNB₁，∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{3}$． …（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．