Question

1．如圖，單位圓⊙O與x軸正半軸交于點(diǎn)A，角α與β的終邊分別與單位圓交于B（x_B，y_B）、C（x_C，y_C）兩點(diǎn)，且滿β-α=$\frac{π}{4}$，其中α為銳角．
（1）當(dāng)△AOB為正三角形時(shí)，求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$；
（2）當(dāng)x_C=-$\frac{3}{5}$時(shí)，求S_△AOB．

Answer 1

分析 （1）α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，求出A，B，C的坐標(biāo)，寫出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式計(jì)算；
（2）cosβ=-$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，利用差角公式計(jì)算出sinα，代入面積公式即可求出面積．

解答 解：（1）當(dāng)△AOB為正三角形時(shí)，α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，
∴B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$），A（1，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$），
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$+$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵x_C=cosβ=-$\frac{3}{5}$，∴sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin（$β-\frac{π}{4}$）=sinβcos$\frac{π}{4}$-cosβsin$\frac{π}{4}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OBsinα=$\frac{7\sqrt{2}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．