Question

4．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足（a_n+1-1）a_n+a_n+1=0（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{3^n}{a_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由滿足（a_n+1-1）a_n+a_n+1=0（n∈N^*）．整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）知：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=n•3ⁿ，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由滿足（a_n+1-1）a_n+a_n+1=0（n∈N^*）．
整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）由（1）知：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=n•3ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了變形推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．