已知f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
）（x≠0）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）＞0．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)f（-x），注意通分變形，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可；
（2）先證明x＞0時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可證2x＞1，進(jìn)而證得x＞0時(shí)成立，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）f（x）的定義域（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，下面只要化簡(jiǎn)f（-x）．
f（-x）=-x(
1
2-x-1
+
1
2
)=-x（
2x
1-2x
+
1
2
）
=-x（
2x-1+1
1-2x
+
1
2
）
=x（
1
2x-1
+
1
2
）=f（x），
故f（x）是偶函數(shù)．
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞1，2x-1＞0，
所以f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
）＞0．
當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)
所以f（x）=f（-x）＞0．
綜上所述，均有f（x）＞0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的定義、判斷方法以及偶函數(shù)的性質(zhì)，注意化簡(jiǎn)變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設(shè)F(x)=
h(x)
f(x)
，且b＜0，試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）試證明：對(duì)?n∈N*，不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間[
1
2
，a]上的值域?yàn)?span id="ahqv4de" class="MathJye">[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（1-x）；則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）＜f（x）成立，則不等式f（x）＞0的解集為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x＜0時(shí)，有（　　）
A、f（x）=-x（1+x）B、f（x）=-x（1-x）C、f（x）=x（1-x）D、f（x）=x（x-1）

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