【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE= ,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,且 ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值,并求此時(shí)二面角E﹣AC﹣F的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,
FD⊥EF,
∴FD⊥平面ABEF,又AF平面ABEF,
∴FD⊥AF,
在折起過程中,AF⊥EF,同時(shí)FD∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
以F為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以FE,F(xiàn)D,F(xiàn)A所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
當(dāng)BE= 時(shí),F(xiàn)(0,0,0),A(0,0, ),D(0, ,0),C(1, ,0),
平面ABEF的法向量 =(0, ,0),
= ,∴ = + =
∴P(0, , ),
=(﹣1, , ),
∵CP∥平面ABEF,∴ = =0,
解得
∴線段AD上點(diǎn)P(0, ),且 ,使得CP∥平面ABEF.
(Ⅱ)設(shè)BE=x,則AF=x(0<x≤2),F(xiàn)D=3﹣x,
∴VACDF= = =﹣ (x﹣ 2+
∴當(dāng)x= 時(shí),VACDF有最大值,且最大值為 ,
∴A(0,0, ),C(1, ,0),D(0, ,0),E(1,0,0),
=(1,0,﹣ ), =(1, ,﹣ ), =(0,0, ), =(1, ,0),
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),
,取x=3,得 =(3,0,2),
設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量 =(a,b,c),
,取a=1,得 =(1,﹣2,0),
cos< >= = =
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值為

【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出FD⊥EF,F(xiàn)D⊥AF,以F為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以FE,F(xiàn)D,F(xiàn)A所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出線段AD上存在點(diǎn)P(0, ), ,使得CP∥平面ABEF.(Ⅱ)設(shè)BE=x,則AF=x(0<x≤2),F(xiàn)D=3﹣x,推導(dǎo)出當(dāng)x= 時(shí),VACDF有最大值,且最大值為 ,求出此時(shí)平面AEC的一個(gè)法向量和平面ACF的一個(gè)法向量,利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.

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2

3

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