【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點(diǎn),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).
①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當(dāng)運(yùn)動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
【答案】(1);(2)直線的斜率為定值。
【解析】試題分析:
(1)由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得,再結(jié)合離心率可求得,從而可得橢圓的方程.(2)①設(shè)直線方程為,,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得,然后由四邊形的特點(diǎn)得,根據(jù)函數(shù)的知識可得的最大值.②由可得直線的斜率之和為0,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后可得,同理,然后根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率驗證即可.
試題解析:
(1)由題意得拋物線的焦點(diǎn)為,
∴,
∵,
∴
∴,
∴橢圓的方程為.
(2)①由題意設(shè)直線方程為,
由消去y整理得,
∵直線AB與橢圓交于兩點(diǎn),
∴,解得.
設(shè),
則,
又,
∴,
∴當(dāng)時,取得最大,
即四邊形面積的最大值為.
②當(dāng)時,直線的斜率之和為0,
設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,
故直線的方程為,
由消去y整理得
,
∴,
同理.
∴,
∴,
故直線的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若F1,F2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)
(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離等于7,求點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離;
(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn),且|PF1|·|PF2|=32,試求△F1PF2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的焦距為,離心率為,橢圓的右頂點(diǎn)為.
(1)求該橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩個不同點(diǎn),求證:直線的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓C: =1的右焦點(diǎn)F,過焦點(diǎn)F的直線l0⊥x軸,P(x0 , y0)(x0y0≠0)為C上任意一點(diǎn),C在點(diǎn)P處的切線為l,l與l0相交于點(diǎn)M,與直線l1:x=3相交于N.
(I) 求證;直線 =1是橢圓C在點(diǎn)P處的切線;
(Ⅱ)求證: 為定值,并求此定值;
(Ⅲ)請問△ONP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小及此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足a( sinC+cosC)=b+c.
(I) 求角A的大小;
(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+A)的最小正周期為π,求f(x)的減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表,用aij表示第i行第j個數(shù)(i,j∈N),已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列,每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列,且公比都相等.已知a11=1,a31+a61=9,a35=48.
(1)求an1和a4n;
(2)設(shè)bn= +(﹣1)na (n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE= ,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,且 ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值,并求此時二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
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