Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，1），$\overrightarrow$=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1
（1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]求函數(shù)f（x）的值域．
（2）求方程f（x）=k，（0$≤k＜\sqrt{2}$），在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求函數(shù)的值域；
（2）由題意可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，討論當(dāng)0＜k＜$\sqrt{2}$時，當(dāng)k=0時，結(jié)合函數(shù)的對稱性和周期性，即可得到所求所求實根之和．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，1），$\overrightarrow$=（1，sin2x），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=2cos²x+sin2x-1=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即有函數(shù)f（x）的值域為[-1，$\sqrt{2}$]；
（2）方程f（x）=k，（0$≤k＜\sqrt{2}$），
可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，
由y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的周期為π，
[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]為2個周期，
當(dāng)0＜k＜$\sqrt{2}$時，即0＜$\frac{k}{\sqrt{2}}$＜1時，sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{k}{\sqrt{2}}$在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]內(nèi)有4個交點，
即有4個不等實根，根據(jù)圖象的對稱性，可得x₁+x₂=$\frac{π}{4}$，x₃+x₄=$\frac{9π}{4}$，
所有實根的和為x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{5π}{2}$；
當(dāng)k=0時，sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]內(nèi)有5個交點，
所有實根的和為x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-$\frac{π}{8}$+$\frac{3π}{8}$+$\frac{7π}{8}$+$\frac{11π}{8}$+$\frac{15π}{8}$=$\frac{35π}{8}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的值域和對稱性，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及分類討論思想方法和運算能力，屬于中檔題．