Question

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），雙曲線C上一點N滿足|ON|=c，若雙曲線的一條漸近線平分∠FON，則雙曲線的兩條漸近線方程是y=±2x．

Answer 1

分析 設雙曲線的左焦點為F'，連接NF'，可得NF'與漸近線平行，即有NF⊥NF'，設|NF'|=m，運用雙曲線的定義和正切函數(shù)的定義，求得m，再由勾股定理和漸近線方程，即可得到所求．

解答 解：設雙曲線的左焦點為F'，連接NF'，
由雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x垂直平分線段NF'，
可得NF'與漸近線平行，即有NF⊥NF'，
設|NF'|=m，由雙曲線的定義可得|NF|=2a+m，
由漸近線的斜率可得tan∠NF'F=$\frac{a}$=$\frac{m+2a}{m}$，
解得m=$\frac{2{a}^{2}}{b-a}$，
在直角三角形NFF'中，可得
（2c）²=m²+（2a+m）²，
即有4c²=（$\frac{2{a}^{2}}{b-a}$）²+（$\frac{2ab}{b-a}$）²，
由c²=a²+b²，
化簡可得（b-a）²=a²，
即為b=2a，
則雙曲線的兩條漸近線方程是y=±$\frac{a}$x，
即為y=±2x．
故答案為：y=±2x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用雙曲線的定義和垂直平分線的性質(zhì)，以及勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．