【題目】已知函數(shù)f (x)=a lnx++x (a≠0).
(1)若曲線y=f (x)在點(diǎn)(1,f (1))處的切線與直線x-2y=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性.
【答案】(1) a=-1或a=.
(2) 當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減.當(dāng)a<0時(shí),所以函數(shù)f(x)在(0,-2a)上單調(diào)遞減,在(-2a,+)上單調(diào)遞增.
【解析】分析:(1)先求出,由題意得:f′(1)=﹣2,解方程求出即可;(2)求出,討論①a>0時(shí),②a<0時(shí)的情況,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)由(2)得,當(dāng)a∈(﹣∞,0)時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為f(﹣2a),故g(a)=f(﹣2a),得g′(a)=ln(﹣2a)﹣2,得g(a)在(﹣∞,﹣e2)遞增,在(﹣e2,0)遞減,從而g(a)最大值=e2,進(jìn)而求出g(a)的最大值.
詳解:
(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>.
根據(jù)題意,有f′(1)=-2,所以2a2-a-3=0,解得a=-1或a=
(2)
當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)?/span>x>0,
由f′(x)>0得(x-a)(x+2a)>0,解得x>a;
由f′(x)<0得(x-a)(x+2a)<0,解得0<x<a.
所以函數(shù)f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)?/span>x>0,
由f′(x)>0得(x-a)(x+2a)>0,解得x>-2a;由f′(x)<0得(x-a)(x+2a)<0,解得0<x<-2a
所以函數(shù)f(x)在(0,-2a)上單調(diào)遞減,在(-2a,+)上單調(diào)遞增.
所以:當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減.當(dāng)a<0時(shí),所以函數(shù)f(x)在(0,-2a)上單調(diào)遞減,在(-2a,+)上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓心在x軸正半軸上的圓C與直線相切,與y軸交于M,N兩點(diǎn),且.
Ⅰ求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
Ⅱ過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)D,E,若時(shí),求直線l的方程;
Ⅲ已知Q是圓C上任意一點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A,B,使得?若存在,求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=(x2﹣2ax)lnx+2ax﹣ x2 , 其中a∈R.
(1)若a=0,且曲線f(x)在x=t處的切線l過(guò)原點(diǎn),求直線l的方程;
(2)求f(x)的極值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),證明f(x1)+f(x2)< a2+3a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等極如下表:
質(zhì)量指標(biāo)值m | m<185 | 185≤m<205 | m≥205 |
等級(jí) | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測(cè)后得到如下的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定?
(Ⅱ)在樣本中,按產(chǎn)品等極用分層抽樣的方法抽取8件,再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(III)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開(kāi)展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測(cè),產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X~N(218,140}),則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,若也為函數(shù)的圖象的切線,則必須滿足( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 在殘差圖中,殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高
B. 在線性回歸分析中,回歸直線不一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心
C. 在回歸分析中, 為0.98的模型比為0.80的模型擬合的效果好
D. 自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某4S店開(kāi)展汽車(chē)銷(xiāo)售業(yè)績(jī)比賽,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名銷(xiāo)售員連續(xù)5個(gè)月的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)(單位:臺(tái))的莖葉圖如圖所示.
(1)作為業(yè)務(wù)主管的你認(rèn)為誰(shuí)的銷(xiāo)售情況好?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若分別從甲、乙的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)中任取一次,求兩人中至少有一人銷(xiāo)售業(yè)績(jī)?cè)?/span>80臺(tái)以上的概率.
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