Question

3．已知方程x²cosθ+y²=1．
（1）當(dāng)θ=$\frac{2}{3}$π時(shí)，求該曲線的離心率；
（2）當(dāng)θ在[0，π）范圍內(nèi)變化時(shí)，判斷方程表示曲線的形狀如何變化？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)θ=$\frac{2}{3}$π時(shí)，cosθ=-$\frac{1}{2}$，方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，即可求該曲線的離心率；
（2）根據(jù)cosθ符號(hào)，對(duì)角θ分類進(jìn)行討論，由直線、圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體形狀．

解答 解：（1）當(dāng)θ=$\frac{2}{3}$π時(shí)，cosθ=-$\frac{1}{2}$，方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴$c=\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
（2）由題意可得：
①當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{2}$時(shí)，方程x²cosθ+y²=1可以化簡為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{cosθ}}$+y²=1．
并且有：0＜cosθ＜1，則$\frac{1}{cosθ}$＞1，所以方程x²cosθ+y²=1表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
②當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，cosθ=0，方程為x²=1，得x=±1表示與y軸平行的兩條直線；
③當(dāng)$\frac{π}{2}$＜θ＜π時(shí)，方程x²cosθ+y²=1可以化簡為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{cosθ}}$+y²=1．
并且有：cosθ＜0，方程x²cosθ+y²=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；
④θ=0時(shí)，cosθ=1，方程x²cosθ+y²=1可以化簡為：x²+y²=1表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程含有參數(shù)時(shí)討論表示的曲線問題，需要根據(jù)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，分別再由直線、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體形狀，考查了分類討論思想．