Question

4．方程x²+2x+m=0（m∈R）有兩根分別是α和β，求|α|+|β|．

Answer 1

分析 由方程x²+2x+m=0（m∈R）有兩個根得到m的范圍，然后分類把|α|+|β|中的絕對值去掉，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得答案．

解答 解：∵α，β是關(guān)于x的方程x²+2x+m=0（m∈R）的兩個根，
①△=2²-4m≥0，解得m≤1，
且α+β=-2，αβ=m．
當m=1時，α=β=-1，此時|α|+|β|=2；
當m＜1時，不妨設(shè)α＜β，
若0≤m＜1，則α＜0，β≤0，
則|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；
若m＜0，則α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，
∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=2$\sqrt{1-m}$．
②△＜0，m＞1．兩根為-1±$\sqrt{m-1}$i，|α|+|β|=2$\sqrt{m}$
綜上，當0≤m≤1時，|α|+|β|=2，當m＜0時，|α|+|β|=2$\sqrt{1-m}$，m＞1，|α|+|β|=2$\sqrt{m}$．

點評 本題考查了函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)題．