Question

12．設函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把f（x）的解析式寫成分段函數(shù)的形式，①令f（x）=5，求得x的值，可得f（x）≤5的解集．
（2）由題意可得 m≠-f（x），再根據(jù)f（x）≥2，求得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{4-4x，x＜\frac{1}{2}}\\{2，\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{4x-4，x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
令f（x）=5，求得x=-$\frac{1}{4}$，或x=$\frac{9}{4}$，故f（x）≤5的解集為[-$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]．
（2）由g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$ 的定義域為R，可得f（x）≠-m，
即 m≠-f（x）．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的單調性可得f（x）≥2，
∴-f（x）≤-2，
故m＞-2．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的值域，屬于中檔題．