Question

10．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇.2016年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都作出好評的交易為80次．
（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？
（2）若將頻率視作概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行5次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量X：
①求對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方程．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由題意列出2×2列聯(lián)表，計算觀測值K²，對照數(shù)表即可得出正確的結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，得出商品和服務(wù)都好評的概率，求出X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出期望與方差．

解答 解：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表為：

	對服務(wù)好評	對服務(wù)不滿意	合計
對商品好評	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計	150	50	200

計算觀測值K²=$\frac{200×（80×10-40×70）^{2}}{150×50×120×80}≈11.111＞10.828$，
對照數(shù)表知，在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)；（6分）
（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都好評的概率為$\frac{2}{5}$，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$（\frac{3}{5}）^{5}$	${C}_{5}^{1}•\frac{2}{5}•（\frac{3}{5}）^{4}$	C52（$\frac{2}{5}$）2（$\frac{3}{5}$）3	C53（$\frac{2}{5}$）3（$\frac{3}{5}$）2	C54（$\frac{2}{5}$）4（$\frac{3}{5}$）1	（$\frac{2}{5}$）5

由于X～B（5，$\frac{2}{5}$），
則EX=5×$\frac{2}{5}$=2，DX=5×$\frac{2}{5}$×（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{6}{5}$（12分）

點評 本題主要考查了統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，包括獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望和方差的求法問題，也考查了對數(shù)據(jù)處理能力的應(yīng)用問題．