Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 （Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，設(shè)，根據(jù)其單調(diào)性得到的單調(diào)性.

（Ⅱ）先證明當(dāng)時(shí)，（）恒成立，計(jì)算得到在及處均取極小值，且，即，得到，得到證明.

（Ⅰ），（）.

設(shè)（），則，易知在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，則當(dāng)時(shí)，成立，

易知在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（）.

令（），

下面考察當(dāng)時(shí)，的根的情況，從而討論的正負(fù)情況.

先證明當(dāng)時(shí)，（）恒成立，

設(shè)，則，，

設(shè)，則在時(shí)恒成立，

故在時(shí)單調(diào)遞增，故，

故在時(shí)單調(diào)遞增，故.

則，（），

所以有，，而，

必存在，，使得，所以此時(shí)在區(qū)間，上，

單調(diào)遞增，在，上，單調(diào)遞減；

所以在及處均取極小值，且，即，

又，因?yàn)?/span>，所以有，即，同理有.

即，所以當(dāng)時(shí)，成立.