【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷在定義域上的單調(diào)性;
(2)若對(duì)定義域上的任意的,有恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:,.
【答案】(1)因?yàn)?/span>所以在上單調(diào)遞減,(2),(3)證明見解析.
【解析】
(1)求導(dǎo)后利用基本不等式證明導(dǎo)函數(shù)小于等于0即可.
(2) ,再分、和三種情況分別討論函數(shù)的最大值分析即可.
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論知,對(duì)任意都成立, 取再累加求證即可.
(1)當(dāng)時(shí),,故
因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故
所以在上單調(diào)遞減.
(2)∵,
當(dāng)時(shí),則,∴在上單調(diào)遞增, ,
當(dāng)時(shí),令,解得,
當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則時(shí),
,
當(dāng)時(shí), ,在上單調(diào)遞減,則,
∴
(3)當(dāng)時(shí),成立
當(dāng)時(shí),由(2)知,對(duì)任意都成立
取,,則
所以
當(dāng)時(shí)
所以
所以
所以
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓的圓心為,直線過點(diǎn)且與軸不重合,直線交圓于,兩點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).
(1)證明為定值,并寫出點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線交于,兩點(diǎn),過點(diǎn)且與直線垂直的直線與圓交于,兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行.點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計(jì)算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】哈三中團(tuán)委組織了“古典詩詞”的知識(shí)競(jìng)賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生(男女各30名),將其成績(jī)分成六組,,…,,其部分頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求成績(jī)?cè)?/span>的頻率,補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖,并估計(jì)這次考試的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)從成績(jī)?cè)?/span>和的學(xué)生中選兩人,求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率;
(Ⅲ)我們規(guī)定學(xué)生成績(jī)大于等于80分時(shí)為優(yōu)秀,經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生優(yōu)秀人數(shù)為4人,補(bǔ)全下面表格,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
男 | 4 | 30 | |
女 | 30 | ||
合計(jì) | 60 |
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽,參賽學(xué)生的競(jìng)賽得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
班級(jí) | 參賽人數(shù) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 45 | 83 | 86 | 85 | 82 |
乙 | 45 | 83 | 84 | 85 | 133 |
某同學(xué)分析上表后得到如下結(jié)論:
①甲、乙兩班學(xué)生的平均成績(jī)相同;
②乙班優(yōu)秀的人數(shù)少于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(競(jìng)賽得分分為優(yōu)秀);
③甲、乙兩班成績(jī)?yōu)?/span>85分的學(xué)生人數(shù)比成績(jī)?yōu)槠渌档膶W(xué)生人數(shù)多;
④乙班成績(jī)波動(dòng)比甲班小.
其中正確結(jié)論有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某校甲、乙、丙三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分別為36,24,12.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取6人,進(jìn)行睡眠質(zhì)量的調(diào)查.
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)興趣小組的學(xué)生中分別抽取多少人?
(2)設(shè)抽出的6人分別用、、、、、表示,現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步的身體檢查.
(i)試用所給字母列出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)設(shè)為事件“抽取的2人來自同一興趣小組”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過拋物線上一點(diǎn),作兩條直線分別交拋物線于,,當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí):
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若直線在軸上的截距時(shí),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱數(shù)列{an}為S數(shù)列.
(1)S數(shù)列的任意一項(xiàng)是否可以寫成其某兩項(xiàng)的差?請(qǐng)說明理由.
(2)①是否存在等差數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②是否存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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