Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+$\frac{3}{2}$|
（1）求不等式f（x）＜0的解集M；
（2）當a，b∈M時，求證：3|a+b|＜|ab+9|．

Answer 1

分析 （1）把f（x）用分段函數(shù)來表示，令f（x）=0，求得x的值，結(jié)合圖象，可得不等式f（x）＜0的解集．
（2）用分析法證明此不等式，分析使此不等式成立的充分條件為（a²-9）（9-b²）≤0，而由條件a，b∈M可得（a²-9）（9-b²）≤0成立，從而證得要證的不等式．

解答 解：（1）f（x）=|2x-1|-|x+$\frac{3}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{5}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{-x+\frac{5}{2}，x≤-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
令f（x）=0，解得x=-$\frac{1}{6}$或x=$\frac{5}{2}$，
結(jié)合圖象，可得不等式f（x）＜0的解集M=（-$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{2}$）
（2）要證3|a+b|＜|ab+9||，只要證9（a+b）²≤（ab+9）²，
即證：9（a+b）²-（ab+9）²=9（a²+b²+2ab）-（a²•b²+18ab+81）=9a²+9b²-a²•b²-81=（a²-9）（9-b²）≤0，
而由a，b∈M，可得-$\frac{1}{6}$＜a，b＜$\frac{5}{2}$，
∴（a²-9）≤0，（9-b²）≥0，∴（a²-9）（9-b²）≤0成立，
故要證的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．