Question

15．已知a∈R，函數f（x）=$\frac{a}{x}+lnx-1，g（x）=（lnx-1）{e^x}$+x（其中e為自然對數的底數）．
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調性；
（2）是否存在實數x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導，由此進行分類討論，能得到函數f（x）在（0，e]上的單調性．
（2）對g（x）求導，由（1）知，當a=1時，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，由此能導出不存在實數x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，∴x∈（0，+∞），∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上單調遞增；
若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，函數f（x）在區(qū)間（0，a）上單調遞減，
當x∈（a，e]時，f′（x）＞0，函數f（x）在區(qū)間（a，e]上單調遞增，
若a≥e，則f′（x）≤0，函數f（x）在區(qū)間（0，e]上單調遞減．
（2）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1
=$\frac{{e}^{x}}{x}$+（lnx-1）e^x+1
=（$\frac{1}{x}$+lnx-1）e^x+1，
由（1）易知，當a=1時，f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，
即x₀∈（0，+∞）時，$\frac{1}{{x}_{0}}$+lnx₀-1≥0，
又${e}^{{x}_{0}}$＞0，
∴g′（x₀）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$+lnx₀-1）${e}^{{x}_{0}}$+1≥1＞0．
曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′（0）=0有實數解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無實數解．故不存在．

點評 本題考查函數單調性的判斷，考查實數是否存在的判斷，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想，綜合性強，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．