Question

4．利用課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法求和：S_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1（x≠0）

Answer 1

分析 對(duì)x討論，當(dāng)x=1時(shí)，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，可得；當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，S_n=1+3+5+…+（2n-1）
=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=n²．
（2）當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，S_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1，①
xS_n=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ，②
①-②可得，（1-x）S_n=1+2（x+x²+…+x^n-1）-（2n-1）xⁿ，
=1+2•$\frac{x（1-{x}^{n-1}）}{1-x}$-（2n-1）xⁿ，
即有S_n=$\frac{1+x-[2n+1-（2n-1）x]•{x}^{n}}{（1-x）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查分類(lèi)討論的思想方法和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．