Question

10．已知函數(shù) f（x）=x²+4|x-a|（x∈R）．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，去絕對(duì)值號(hào)得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-2}&{x≥\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-4x+2}&{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，在每一段上根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）要使本條件成立，只要f（x）_max-f（x）_min≤k，從而這里要求f（x）的最大、最小值，可設(shè)函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為M（a），最小值為m（a）．討論a≥1，a≤1，或-1＜a＜1三種情況，每種情況下根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出M（a），m（a），從而得出M（a）-m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8}&{a≥1，或a≤-1}\\{-{a}^{2}+4a+5}&{0＜a＜1}\\{-{a}^{2}-4a+5}&{-1＜a≤0}\end{array}\right.$，這樣可求出M（a）-m（a）的最大值，從而得出k的最小值．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-2}&{x≥\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-4x+2}&{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
二次函數(shù)x²+4x-2在$[\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，x²-4x+2在$（-∞，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$）；
（2）∵對(duì)任意的x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k；
∴設(shè)函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為M（a），最小值為m（a）；
①當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=x²-4x+4a在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴M（a）=f（-1）=5+4a，m（a）=f（1）=-3+4a；
②當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）=x²+4x-4a在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴M（a）=f（1）=5-4a，m（a）=f（-1）=-3-4a；
③當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-4a}&{x≥a}\\{{x}^{2}-4x+4a}&{x＜a}\end{array}\right.$在（-1，a）上單調(diào)遞減，在[a，1）上單調(diào)遞增；
∴m（a）=f（a）=a²，M（a）=max{f（1），f（-1）}={5-4a，5+4a}；
即0＜a＜1時(shí)，M（a）=5+4a，-1＜a≤0時(shí)，M（a）=5-4a；
綜上得M（a）-m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8}&{a≥1，或a≤-1}\\{-{a}^{2}+4a+5}&{0＜a＜1}\\{-{a}^{2}-4a+5}&{-1＜a≤0}\end{array}\right.$；
0＜a＜1時(shí)，-a²+4a+5=-（a-2）²+9∈[5，8]；
-1＜a≤0時(shí)，-a²-4a+5=-（a+2）²+9∈[5，8]；
又對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立；
∴k≥M（a）-m（a）恒成立，M（a）-m（a）最大值為8；
∴k≥8；
∴k的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)的最值．