Question

已知函數(shù)f（x）=x•（1+lnx）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若x₁，x₂＞0，p₁，p₂＞0，p₁+p₂=1，求證：p₁f（x₁）+p₂f（x₂）≥f（p₁x₁+p₂x₂）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)小于等于零，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，求出減區(qū)間，即可得到單調(diào)增區(qū)間，也可獲得極值．
（2）令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．不妨設(shè)0＜x₁≤x≤x₂，只需證明g（x₂）≥g（x₁），可通過證明g′（x）≥0得出g（x）在（x₁，x₂）是增函數(shù)．

解答： 解：（1）由于f′（x）=2+lnx，令f′（x）=0得x=e^-2，列表：

x	（0，e-2）	e-2	（e-2，+∞）
f′（x）	負(fù)	0	正
f（x）	單減	極小值	單增

于是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e^-2），單調(diào)遞增區(qū)間是（e^-2，+∞），
在x=e^-2處取得極小值，極小值為f（e^-2）=-

1

e2

，無極大值；
（2）令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．不妨設(shè)0＜x₁≤x≤x₂，
則g′（x）=p₂f′（x）-p₂f′（p₁x₁+p₂x）．
∵p₁x₁+p₂x-x=p₁x₁-p₁x≤0，
∴p₁x₁+p₂x≤x，而f′（x）=2+lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以f′（x）≥f′（p₁x₁+p₂x）．
∴g′（x）≥0，g（x）在（x₁，x₂）是增函數(shù)，所以g（x₂）≥g（x₁），
即p₁f（x₁）+p₂f（x₂）≥f（p₁x₁+p₂x₂）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，不等式的證明考查分析解決問題能力．本題關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式．