Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2+2cosβ y=2sinβ

（β為參數(shù)），M是C₁上的點(diǎn)，P是C₂上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足

OP

=2

OM

．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦長(zhǎng)；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求M，P的極坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C₁和線C₂的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再把這兩個(gè)圓的方程聯(lián)立方程組求得兩個(gè)圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得公共弦長(zhǎng)．
（Ⅱ）求得曲線C₁和曲線C₂的極坐標(biāo)方程，根據(jù)

OP

=2

OM

，分類(lèi)討論，求得點(diǎn)P和點(diǎn)M的極坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）把曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)）消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4，表示以C₁（0，2）為圓心，半徑等于2的圓．
把曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2+2cosβ y=2sinβ

（β為參數(shù)）消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為 （x-2）²+y²=4，表示以C₂（0，2）為圓心、半徑等于2的圓．
由

x2+(y-2)2=4 (x-2)2+y2=4

 求得

x=0 y=0

，或

x=2 y=2

，故兩個(gè)圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（2，2），故公共弦長(zhǎng)為2

2

．
（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，
顯然，當(dāng)點(diǎn)P、M在極點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件．
或者 4cosθ=8sinθ，求得tanθ=

1

2

，∴sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，∴點(diǎn)P（

8 5

5

，arctan

1

2

）、M（

4 5

5

，arctan

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，求點(diǎn)的極坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．