Question

設(shè)x、y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

1

a

+

2

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求

1

a

+

2

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-

a

b

x+

z

b

的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即A（4，6）．
此時z=4a+6b=12，
即

a

3

+

b

2

=1，
則

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（

a

3

+

b

2

）
=

1

3

+1+

b

2a

+

2a

3b

≥

4

3

+2

b 2a • 2a 3b

=

4+2 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

2a

=

2a

3b

時取=號，
故答案為：

4+2 3

3

．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．