Question

點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一點(diǎn)，則

PA

•

PC1

的取值范圍是（　�。�

A．[-1，- 1 4 ]

B．[- 1 2 ，- 1 4 ]

C．[-1，0]

D．[- 1 2 ，0]

Answer 1

如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD₁所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
則點(diǎn)A（1，0，0），C₁（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴

PA

=（1-x，-y，-1），

PC1

=（-x，1-y，0），
∴

PA

•

PC1

=-x（1-x）-y（1-y）+0=x²-x+y²-y=(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2-

1

2

，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=y=

1

2

時(shí)，

PA

•

PC1

取得最小值為-

1

2

；
故當(dāng)x=0或1，且y=0或1時(shí)，

PA

•

PC1

取得最大值為0，
則

PA

•

PC1

的取值范圍是[-

1

2

，0]，
故選D．