Question

13．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，M是橢圓上任一點(diǎn)，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范圍是[-4，4]，則橢圓的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)和原點(diǎn)的距離的最值，即可得到a，b的值，進(jìn)而得到所求方程．

解答 解：設(shè)M（m，n），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-m，-n），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-m）（c-m）+n²=m²+n²-c²，
由m²+n²的幾何意義為點(diǎn)（0，0）與點(diǎn)M的距離的平方，
即有m²+n²的最大值為a²，最小值為b²，
則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范圍是[b²-c²，a²-c²]，
由題意可得b²-c²=-4，a²-c²=4，
求得b²=4，a²=12，c²=8，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．