Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$$•\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，若直線AB的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由已知AF₂⊥F₁F₂，A（c，$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$），直線AB的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得：a²b²=a⁴-2b⁴，由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$$•\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，∴AF₂⊥F₁F₂，
設(shè)A（c，y），則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，∴y=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
又∵A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵直線AB的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線AB的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{{a}^{2}^{2}}{\frac{1}{2}{a}^{2}+^{2}}$=c²=a²-b²，
整理，得：a²b²=a⁴-2b⁴，
∴a²（a²-c²）=a⁴-2（a²-c²）²，
整理，得2a⁴-5a²c²+2c⁴=0，
∴2e⁴-5e+2=0，
解得e²=$\frac{1}{2}$或e²=2（舍），
又0＜e＜1，∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．