Question

如果某日在亞丁灣擔(dān)任護(hù)航任務(wù)的我海軍“馬鞍山”艦向西以4

3

海里/小時的速度朝燈塔Q方向，當(dāng)行駛至距離燈塔3

3

三海里的A處，通過衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)有一可疑小艇位于燈塔的北偏東60°的方向，距燈塔1海里B處，正以4海里/小時的速度朝北偏東60°方向行駛．
（1）t小時后，小艇與“馬鞍山”艦相距多少海里？
（2）什么時候兩船距離最近？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）如圖所示，由題意可得：當(dāng)t∈[0，

3

4

]小時，小艇距燈塔Q有1+4t海里，“馬鞍山”艦距燈塔Q，3

3

-4

3

t海里；利用余弦定理可得CD=

112t2-88t+19

海里．
當(dāng)t∈(

3

4

，+∞)小時，利用余弦定理可得相距CD=

16t2-40t+37

海里．
（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）如圖所示，
由題意可得：當(dāng)t∈[0，

3

4

]小時，小艇距燈塔Q有1+4t海里，“馬鞍山”艦距燈塔Q，3

3

-4

3

t海里；
此時小艇與“馬鞍山”艦相距CD=

(1+4t)2+(3 3 -4 3 t)2-2(1+4t)(3 3 -4 3 t)cos30°

=

112t2-88t+19

海里．
當(dāng)t∈(

3

4

，+∞)小時，小艇距燈塔Q有1+4t海里，“馬鞍山”艦距燈塔Q，4

3

t-3

3

海里．
此時小艇與“馬鞍山”艦相距=

(1+4t)2+(4 3 t-3 3 )2-2(1+4t)(4 3 t-3 3 )cos30°

=

16t2-40t+37

海里．
（2）由（1）可得：當(dāng)t∈[0，

3

4

]小時，小艇與“馬鞍山”艦相距CD=

112t2-88t+19

．
當(dāng)t=

11

28

時，CD取得最小值

2 21

7

．
當(dāng)t∈(

3

4

，+∞)小時后，此時小艇與“馬鞍山”艦相距CD=

16t2-40t+37

海里．
當(dāng)t=

5

4

時，CD取得最小值2

3

．
而

2 21

7

＜2

3

．
∴當(dāng)t=

11

28

時，CD取得最小值

2 21

7

．

點(diǎn)評：本題考查了余弦定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．