Question

3．已知數(shù)列a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$（n≥3），求證：{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，n≥3，①，得到$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，n≥3，②，兩式相減，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明/

解答 證明：∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，n≥3，①
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，n≥3，②
②-①可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$-=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，兩邊同乘以a₁a_na_n+1可得
a₁=na_n-（n-1）a_n+1，
∴a₁=（n+1）a_n+1-na_n+2，
兩式相減可得0=-na_n+2+（n+1）a_n+1+（n-1）a_n+1-na_n，
∴0=-na_n+2+2na_n+1-na_n，
∴2a_n+1=a_n+2+a_n，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義，關(guān)鍵等式，利用作差法，屬中檔題．