Question

5．已知|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，點P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則x+y的最大值為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 利用向量的運算得出，|$\overrightarrow{OP}$|²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=x²•|$\overrightarrow{OA}$|²+y²•|$\overrightarrow{OB}$|²+2xy×$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=9x²+16y²=1，
判斷點（x，y）在橢圓上，根據(jù)三角代換得出x+y=$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα，α∈[0，2π），根據(jù)三角函數(shù)化簡求值即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，點P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=1
∴點（x，y）在橢圓上，
根據(jù)三角代換得出：x=$\frac{1}{3}$cosα，y=$\frac{1}{4}$sinα，α∈[0，2π）
∴x+y=$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα，α∈[0，2π），
∵$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα≤$\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}$=$\frac{5}{12}$，
∴x+y的最大值為$\frac{5}{12}$，
故答案為：$\frac{5}{12}$

點評 本題綜合性較大，考察了平面向量的運算，橢圓的方程，三角代換，三角函數(shù)式的求值，考察了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．