Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，且a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{4}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$+2^n-1a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），即2a_n+1=a_n+2+a_n，可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+n•2ⁿ．利用“裂項(xiàng)求和”與“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可的．

解答 解：（1）∵a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），即2a_n+1=a_n+2+a_n，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
設(shè)公差為d，∵a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，∴2×3+3d=12，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{4}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$+2^n-1a_n=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$+n•2ⁿ=$\frac{1}{n（n+1）}$+n•2ⁿ．
設(shè)數(shù)列$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$的前n項(xiàng)和為A_n，∵$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則A_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
設(shè)數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和為B_n，
則B_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2B_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-B_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴B_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=A_n+B_n=$\frac{n}{n+1}$+（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．