Question

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求∠A的大��；
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為

2

，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，化簡即可得到角A；
（Ⅱ）運(yùn)用三角形的面積公式及正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式，化簡整理，即可得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）acosC=（2b-c）cosA，即為
acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

；

（Ⅱ）由于A=

π

3

，則B+C=

2π

3

，可設(shè)B=

π

3

-α，C=

π

3

+α，
由正弦定理，可得，b=2

2

sinB，c=2

2

sinC，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=4sinBsinC•

3

2

=2

3

sin（

π

3

-α）sin（

π

3

+α）=2

3

（

3

2

cosα-

1

2

sinα）（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=2

3

（

3

4

-sin²α）≤2

3

×

3

4

=

3 3

2

．
當(dāng)sinα=0，即有B=C=

π

3

，S取得最大值，且為

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查兩角和差的正弦公式和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．