Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n ）在函數(shù)y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的圖象上，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：點(diǎn)（a_n，S_n ）在函數(shù)y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的圖象上，可得S_n=

1

8

×

a

2 n

+

1

2

an+

1

2

，利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=4，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 解：∵點(diǎn)（a_n，S_n ）在函數(shù)y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的圖象上，
∴S_n=

1

8

×

a

2 n

+

1

2

an+

1

2

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

a

2 n

+

1

2

an+

1

2

-[

1

8

a

2 n-1

+

1

2

an-1+

1

2

]，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=4，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

8

a

2 1

+

1

2

a1+

1

2

，解得a₁=2．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．