Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）若a＞1，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若已知f（1）=

8

3

，且函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為-2，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，建立方程即可求常數(shù)k的值；
（2）當(dāng)a＞1時，f（x）在R上遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；
（3）根據(jù)f（1）=

8

3

，求出a，然后利用函數(shù)的最小值建立方程求解m．

解答： 解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
（2）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
當(dāng)a＞1時，f（x）在R上遞增．
理由如下：設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=a^m-a^-m-（aⁿ-a^-n）
=（a^m-aⁿ）+（a^-n-a^-m）=（a^m-aⁿ）（1+

1

aman

），
由于m＜n，則0＜a^m＜aⁿ，即a^m-aⁿ＜0，
f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
則當(dāng)a＞1時，f（x）在R上遞增．
（3）∵f（1）=

8

3

，∴a-

1

a

=

8

3

，
即3a²-8a-3=0，
解得a=3或a=-

1

3

（舍去）．
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2，
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

8

3

，
∴（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²，
當(dāng)m≥

8

3

時，2-m²=-2，解得m=2，不成立舍去．
當(dāng)m＜

8

3

時，（

8

3

）²-2m×

8

3

+2=-2，
解得m=

25

12

，滿足條件，
∴m=

25

12

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．