Question

已知log₃x=（log₃y）²
（1）若x=3y，求x，y的值；
（2）當(dāng)x，y為何值時(shí)，

x

y

取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若x=3y，則由條件求得log₃y 的值，可得y的值，從而求得對(duì)應(yīng)的x的值．
（2）令

x

y

=k，則由條件可得 log₃k=（log₃y）² -log₃y，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng) log₃y=

1

2

時(shí)，log₃k取得最小值為-

1

4

，從而求得當(dāng)x，y為何值時(shí)，

x

y

取得最小值．

解答： 解：（1）若x=3y，則由 log₃x=（log₃y）² ，可得 1+log₃y=（log₃y）² ，求得log₃y=

1- 5

2

，或log₃y=

1+ 5

2

．
∴

x=3 3- 5 2 y=3 1- 5 2

，或

x=3 3+ 5 2 y=3 1+ 5 2

．
（2）令

x

y

=k，則由log₃x=（log₃y）² ，可得log₃k+log₃y=（log₃y）² ，
即 log₃k=（log₃y）² -log₃y，故當(dāng) log₃y=

1

2

時(shí)，log₃k取得最小值為-

1

4

，
此時(shí)，x=

4	3

，y=

3

，k最小為3-

1

4

=

1

4 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．