Question

3．如圖所示，扇形AOB中，圓心角∠AOB=$\frac{π}{3}$，半徑為2，在弧$\widehat{AB}$上有一動點P，過P引平行于OB的直線與OA交于點C，設(shè)∠AOP=θ，則△POC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{OC}{{sin（{\frac{π}{3}-θ}）}}$，解得$OC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（{\frac{π}{3}-θ}）$，利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得S_△POC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2$θ+\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用θ的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可解得其最大值．

解答 解：由題意可知：$∠CPO=∠POB=\frac{π}{3}-θ$，$∠OCP=\frac{2π}{3}$，
在△POC中，由正弦定理得：$\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{OC}{{sin（{\frac{π}{3}-θ}）}}$，得：$OC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（{\frac{π}{3}-θ}）$，
所以${S_{△POC}}=\frac{1}{2}OP•OCsinθ=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinθ•sin（{\frac{π}{3}-θ}）$，
=$2sinθ•cosθ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}{sin^2}θ=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（{2θ+\frac{π}{6}}）-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，當$θ=\frac{π}{6}$時，S_△POC的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．