Question

若對于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：依題意，得a≥-（n+1）-

8

n+1

+6恒成立，構造函數(shù)g（n）=（n+1）+

8

n+1

，由于n∈N^*，利用“雙鉤函數(shù)”的單調(diào)性質(zhì)可求得g（n）_min=g（2）=

17

3

，[-（n+1）-

8

n+1

]_max=-g（n）_min=-

17

3

，于是可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立?（n+1）a≥-n²+4n-3=-（n+1）²+6（n+1）-8恒成立，
∵n∈N^*，
∴a≥-（n+1）-

8

n+1

+6恒成立，
∴a≥[-（n+1）-

8

n+1

]_max+6恒成立；
∵雙鉤函數(shù)g（n）=（n+1）+

8

n+1

在[1，2

2

-1]上單調(diào)遞減，在[2

2

-1，+∞）上單調(diào)遞增，又n∈N^*，
g（1）=2+4=6，g（2）=3+

8

3

＜g（3）=6，
∴g（n）_min=g（2）=

17

3

，[-（n+1）-

8

n+1

]_max=-g（n）_min=-

17

3

，
∴m＞-

17

3

+6=

1

3

，
∴實數(shù)a的取值范圍是[

1

3

，+∞），
故答案為：[

1

3

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價轉化思想與構造函數(shù)的思想，考查“雙鉤函數(shù)”的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．